第一章 逻辑概况

1. 引子

如今,连续统假设及其他相关猜想的真假性不能由我们熟悉的集合论来判定。考虑经典的和presumably well-posed问题的现状,肯定会让一般的数学家不自在。人们希望能够更加深入地,同时可能批判地探究数学基础。尽管目前“康托主义”数学在抽象方面取得了很高的成就,但我们不可以忽视在刚开始时使用无穷过程时引起的众多的怀疑。在19世纪,对Cauchy、Dedekind和Cantor使用收敛级数和实数的反对就已出现,特别是Brouwer、Poincaré和Weyl等一批后来的优秀数学家们的反对。这样的对比引起了不同学派对数学基础的思考。与其说,上面的观点没有一个真正地解决了这一问题;倒不如说,困难似乎是根深蒂固于数学的本质之中。尽管连续统假设是一个可以被称为绝对不可判定的语句的非常戏剧性的例子,然而Gödel的不完备性定理仍是通往数学的满意哲学道路之上的最大的绊脚石。这些根本性的困难常常被数学家们忽视,使得连续统假设的独立性显得太过平常。

Gauss似乎是第一个对于无穷的自由使用作出怀疑的数学家。1831年,他写道,“我反对使用貌似完备的无穷大量,这是不容许的。”后来,Kronecker表达了对采用一个无穷过程验证一个对象是否满足一些定义的批判。Cantor在集合论方面的工作导致了对其处理“虚构”的影响的批判。尽管如此,无穷集合现在已经被大家接受了(可能有些许的怀疑)。传统观点接受了从有理数构造实数系统作为在长期不断地批判和重新检验过程终结的一步,这个方法永远铭刻在数学史上。对于实数的构造会有什么样的反对呢?简单来说,就是虽然实数基于整数构造,有关任意整数集合这个模糊概念还是(或者说,等价的,任意的整数序列)需要引入。数学家们采用了一个有穷主义观点,只有那些有显式的规则刻画的集合定义哪些整数被包含进集合中。例如,Brouwer学派(直觉主义)仅承认有穷集合作为合法的研究对象,甚至一个单独的整数都会因为没有一个完全确定的计算出来的规则而不被接受。(例如,如果Fermat大定理成立,则集合包含5;如果不成立,则包含5。这样的集合在Brouwer看来就不是良定义的)对于Weyl和Poincaré的攻击直接针对“impredicative”定义。尽管这些反对不如Brouwer的极端,这些批判的接受将会直接导致数学的大部分分支毁灭。

另外的反对声源于集合论中的悖论或自相矛盾。在康托的集合论里,集合由一个性质定义。康托自己指出了所有集合的集合导致一个荒谬的结论。尽管这种类型的悖论(与罗素、Burali-Forti等人发现的悖论)看起来离一般的数学推理很远,这些悖论确实揭示了仔细检查当描述一个集合的性质时的必要性。在1908年,Zermelo提出了一个集合论的公理集合涵盖了所有现今数学推理,而且基本是避免了悖论的产生。这样对集合论的公理化,是与由希尔伯特领导的形式主义学派的精神一致的。根据形式主义观点数学应当被看做一个纯形式化游戏,元素就是各种标记,唯一的游戏限制就是不能产生不一致性。为了完备地描述这个游戏,需要比之前更加精确地设计数理逻辑的规则。当他们完成这个后,形式主义者们就将自己的注意力转移到如何证明不同的系统是一致的上面了。大家应该都知道,这种证明系统一致性的期望被哥德尔发现的不完备性定理完全摧毁,定理主要是说,一个数学系统的一致性不能够被弱于系统本身的方法的方法证明。

尽管失败了,但是形式主义纲领对于逻辑的发展起到了巨大的推动作用,他们开启了对数学系统的系统化研究 。在这些笔记中,我们首先将描述一个数学系统如何通过符号的操作而被完备地归约到一个纯形式化的游戏。形式系统,我们指的是一种有穷的符号集合和一个完全精确的来操作这些符号来形成特定组合(定理)的规则。当然,这些规则肯定由一个非形式化的数学语言给出的。但是,我们要保证必须不需要无穷的检查过程,而且原理上这些符号和规则是可以被编码进一台计算设备的。以此方法,考虑无穷集合的问题就被一个特定的形式游戏的组合可能性问题替代了。接着,我们便可以说,某些语句在给定的形式系统中是不可判定的了。

2. 形式语言

[未完待续]

One thought on “第一章 逻辑概况

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s